حال با بهره گرفتن از لم ایتو و فرض  ، برای دیفرانسیل لگاریتم قیمت نقدی تحت احتمال ریسک خنثایی می‌توان معادله دیفرانسیل تصادفی را به صورت زیر نوشت:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

برای هر  دو حرکت وینر وجود دارد بنابراین برای مدل دو کالایی چهار حرکت وینر وجود دارد که ماتریس همبستگی آنها با ماتریس همبستگی (  ) در ‏(۳-۶۳) یکسان است. حال از ادبیات هم جمعی در اقتصادسنجی، خطای بلند مدت برای دو متغیر  و  به صورت زیر نوشته می‌شود.

که  بیانگر بردار همجمعی بین دو متغیر  و  می‌باشد. حال اگر  را در معادلات مرتبط به  جایگزین نماییم، داریم:

که

حال با تعریف ^[۱۱۶] و نوشتن معادلات دیفرانسیل ‏(۳-۱۰۳) و ‏(۳-۱۰۴) برحسب  و با انتگرال‌گیری از فرم ماتریسی معادله دیفرانسیل تصادفی در بازه زمانی  به جواب زیر می‌رسیم:

که در جواب بدست امده از انتگرال‌گیری  ،  و  به صورت زیر می‌باشند:

همانند بخش قبلی در ابتدا به استخراج معادله انتقال می‌پردازیم. همانطور که قبلا بیان شد متغیرهای  و  غیر قابل مشاهده هستند بنابراین معادله انتقال از معادلات مربوط به حرکت این دو متغیر غیر‌قابل مشاهده ‏(۳-۱۰۳) و ‏(۳-۱۰۴) استخراج می‌شود. از آنجا که در سمت راست معادله دیفرانسیل تصادفی ‏(۳-۱۰۳) ،  برای  وارد شده است برای بدست آوردن معادله انتقال ابتدا باید معادله دیفرانسیل تصادفی مربوط به قیمت نقدی را حل نمود. اگر در معادله دیفرانسیل مربوط به کالای یک لگاریتم قیمت کالای دو در زمان  وارد نشده بود می‌توانستیم با عمل گسسته‌سازی معادله انتقال برای متغیر قیمت نقدی کالای یک در زمان  را بر حسب قیمت کالای یک در زمان  نوشت و معادله انتقال را بدست آورد. اما چون در معادله انتقال بایستی متغیر حالت در زمان  بر حسب متغیرهای حالت در زمان  نوشته شود بنابراین باید مدل به گونه‌ای حل شود که مقادیر جاری لگاریتم قیمت کالای یک و دو از سمت راست حذف شود.
برای حل فرض کنید که قیمت بازاری ریسک تنها به صورت یک عبارت ثابت است یعنی حرکت برآونی تحت احتمال ریسک خنثایی (  ) و حرکت برآونی تحت احتمال طبیعی(  ) رابطه زیر را برقرار می‌نمایند^[۱۱۷].

در نتیجه جایگزینی فرض  در ‏(۳-۱۰۳) و ‏(۳-۱۰۴) داریم:

که

بنابراین با فرض  ، جواب ‏(۳-۱۱۳) و ‏(۳-۱۱۴) در قالب ماتریس به صورت زیر نوشته می‌شود.

که در معادله دیفرانسیل فوق داریم:

حال از مقایسه ‏(۳-۱۱۳) و ‏(۳-۱۱۴) با معادله انتقال در فیلتر کالمن ‏(۲-۱۶۱)، اجزای معادله انتقال برای مدل مورد نظر به صورت زیر نوشته می‌شوند.

برای بدست آوردن معادله اندازه‌گیری از رابطه بین قیمت آتی و نقدی استفاده می‌کنیم که برای مدل بسط‌یافته به صورت زیر نوشته می‌شود:

اگر قیمت‌های آتی دارای قراردادهای با  تا سررسید باشند در این صورت داریم:

حال با مقایسه معادله ‏(۳-۱۲۴) و تعریف  با معادله اندازه‌گیری برای فیلتر کالمن‏(۲-۱۶۲) می‌توان معادله اندازه‌گیری برای مدل مورد نظر را استخراج کرد. در این صورت داریم: