در حالتی که احتمال بقای سرمایه مولّد در برابر یک سانحه، اندک است (). در این شرایط با توجه به تابع مطلوبیت اقتصاد، افراد جوان ترجیح می‌دهند که دستمزدشان را بلافاصله مصرف کنند. در جایی که است مدل به سمت حالت پایداری از مدل استاندارد OLG، با تابع تولید کاب داگلاس و تابع مطلوبیت CRRA سوق می‌یابد. بنابراین از معادلات (۳)، (۴) و (۶) تابع پس‌انداز به ترتیب زیر بدست می‌آید:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

موجودی سرمایه در دوره t + ۱ برابر خواهد بود با میزان پس‌انداز در دوره t:

همچنین فرض می کنیم که سطح در وضعیت ایستا را زمانی که احتمال بقا برابر است نشان می دهد یعنی . بر اساس روش بارو-سالایی مارتین^[۵۹] (Barro & Sala-i-Martin, Economic Growth, 2004) متوسط بهره وری سرمایه را در وضعیت ایستا سطح می توان به صورت تعریف کرده و معادله (۸) در سطح وضعیت ایستا چنین بازنویسی شود:

به همین روش در مورد می توان نوشت:

طرف چپ معادله‌های (۹) و (۱۰) به شکل و طرف راست آنها را به صورت تعریف می کنیم ؛ هر دوی این توابع ممکن است اندیس های بیشینه(max) و یا کمینه(min) به خود بگیرند. تصاویر (۱)، (۲) و (۳) این دو معادله را به ترتیب در حالتی که کمتر، بیشتر و یا برابر یک باشد نشان می‌دهند. طرف راست در هر دو معادله خطی مستقیم است ( که شیب آن بوده و از مبدأ می‌گذرد. یک برنامه‌ریز اجتماعی می‌تواند از طریق تنظیم نرخ مالیات τ شیب L را تغییر دهد.
اگر میزان انباشت سرمایه در یک اقتصاد کمتر از وضعیت ایستا باشد، یعنی ، در این صورت با انباشت سرمایه رقم به نزدیک می‌گردد؛ و به همین نسبت متوسط بهره وری سرمایه، ، از بی‌نهایت به سمت کاهش می‌یابد. این موضوع در نمودار های (۴-۱)، (۴-۲) و (۴-۳) نشان داده شده است، به ترتیبی که با کاهش ، مقدار L کاهش یافته و می‌تواند بر حسب θ افزایش یا کاهش پیدا کرده و یا ثابت بماند. بدون توجه به مقدار متغیر θ، با انباشت بیشتر سرمایه شکاف بین و L کمتر می‌شود. همین منطق زمانی که انباشت سرمایه اولیه بیشتر از وضعیت ایستا باشد، ، نیز صدق می‌کند.
در بحثی که در ادامه ارائه می‌گردد، احتمال وقوع تله‌های فقر مورد ارزیابی قرار گرفته و تلاش می‌گردد تا سیاست‌هایی در جهت اجتناب از آنها ارائه شود. البته شایان ذکر است که این تجزیه و تحلیل بر پایه میزان می‌باشد نه . در مواجهه با رابطه معکوس این دو متغییر باید توجه داشت زمانی که به عنوان انباشت سرمایه به بی‌نهایت میل می‌کند، به عنوان میانگین بهره وری سرمایه به سمت صفر میل می‌کند. به علاوه زمانی که دو رقم مقایسه می‌شوند، بیشتر (کمتر) به کمتر (بیشتر) مربوط است.
تأثیر دو پارامتر بر رفتار مدل بیش از سایر پارامترهاست: (۱) کشش جایگزینی بین زمانی، θ/۱ و (۲) سطح آستانه سرمایه محافظ، Q.
همانطور که اشاره شد، وضعیت و به میزان بستگی دارد. در حالتی که میزان برابر، کمتر و یا بیشتر از یک باشد، شکل به ترتیب خطی مستقیم، منحنی نزولی و یا منحنی صعودی خواهد بود. به هر تقدیر معادلات (۹) و (۱۰) به وضعیت ایستا منحصربفردی می رسند که از قطع دادن توابع و L حاصل می‌گردند (Barro & Sala-i-Martin, Economic Growth, 2004).
کشش جایگزینی بین زمانی، θ، معین می‌کند که کدام سطح وضعیت ایستا، یا ، بالاتر خواهد بود. درحالتی که باشد، منحنی پایین تر از منحنی قرار گرفته و هر دو نزولی خواهند بود (نمودار ۴-۱). بنابراین، زودتر L را قطع می‌کند و اندازه بزرگتر خواهد بود. از اینرو، است که معادل همان می‌باشد. در چنین اقتصادی با افزایش احتمال بقای سرمایه، افراد جوان پس‌انداز را بر مصرف زودهنگام ترجیح می‌دهند که به مصرف کمتر در دوره اول زندگی شان و مصرف بیشتر در نیمه دوم منتج می‌گردد .

نمودار (۴-۱): وضعیت های ایستا برای تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد در حالتی که
از سوی دیگر، اگر باشد، منحنی بالاتر از قرار گرفته و هر دومنحنی نزولی خواهند بود (نمودار ۴-۲). بنابراین L را زودتر در بزرگتر قطع می‌کند. از این رو، است که معادل می‌باشد. در چنین وضعیتی، کشش تابع پس‌انداز با توجه به احتمال بقای سرمایه منفی خواهد بود () و آثار درآمدی بر آثار جانشینی غلبه خواهد داشت. در این صورت افراد تمایل کمتری به موکول کردن مصرف زودهنگام به دوره دوم زندگی خود دارند.

نمودار (۴-۲): وضعیت های ایستا برای تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد در حالتی که
حالت دیگر زمانی رخ می‌دهد که تابع مطلوبیت لگاریتمی‌ باشد (). افراد دارای تابع مطلوبیت لگاریتمی‌ تصمیمات مرتبط با سرمایه گذاری خود را منطبق با تغییرات نرخ بازگشت مورد انتظار و یا احتمال بقای سرمایه تغییر نمی‌دهند. همانطور که نمودار (۴-۳) نشان می‌دهد در چنین مواردی هر دو منحنی و ادغام شده به شکل یک منحنی خطی با معادله در می آید.
نمودار (۴-۳): وضعیت ایستا برای تابع احتمال پالس بقای سرمایه مولّد در حالتی که
تله فقر ممکن است بر مبنای اندازه سطح آستانه سرمایه محافظ Q به نسبت سطوح وضعیت ایستا و بوجود آید. در اینجا برای تسهیل تجزیه ‌وتحلیل تله فقر بر مبنای مقادیر ، مقدار معادلی برای Q تعریف شده است. براساس معادله (۵) سرمایه محافظ از طریق نرخ مالیات بر درآمد تأمین می‌شود:

سپس، حداقل سرمایه مولّد مورد نیاز برای ارتقای سرمایه محافظ به سطحی بالاتر از سطح آستانه Q برابر خواهد بود با:

مشابه و در معادلات (۹) و (۱۰) داریم:
این مقدار معادل است که سطح آستانه Q را نشان می دهد.
با توجه به نسبت مقدار به و و برای مواردی که در آنها کمتر، بیشتر و یا برابر یک است، می‌توان اقتصاد را فاقد تله فقر، گرفتار در تله گریزپذیر و یا گریزناپذیر و یا تله فقر متناوب تصور کرد. قضیه‌های ۱ تا ۵ این حالات مختلف را توضیح می‌دهند.
قضیه ۱: