(۳-۸)
از جمع دو رابطه­ (۳-۲) و (۳-۳) به رابطه­ (۳-۴) برای  خواهیم رسید:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۹)
حال می­توان از طریق رابطه­ روبرو
با توجه به اینکه  است،  را محاسبه کرد.
(۳-۱۰)
حال اگر معادله را نسبت به  وردش دهیم؛ رابطه­ (۳-۶) را خواهیم داشت:
(۳-۱۱)
و با وردش کنش موردنظر برحسب  به قانون گوس در رابطه­ (۳-۷) می­رسیم:
(۳-۱۲)
ما مرتباً از چهار رابطه­ اصلی (۳-۴) تا (۳-۷) برای حل معادلات و به دست آوردن تانسور اینشتین، تابعیت  و نظایر آنها در محاسبات خود استفاده خواهیم کرد.
در این فصل ما حل­های موردنظر خود را برای این­گونه گرانش در رابطه با کرمچاله­ها به دست می­آوریم. حلی که ما در این گرانش برای کرمچاله به دست می­آوریم، مبتنی بر این فرض­های کیهان­شناسی است که جهان در مقیاس­های بزرگ همگن و همسان­گرد است.
برای استفاده از متریک مناسب ما ابتدا نگاهی به متریکی که در کیهان­شناسی از آن استفاده می­کنیم می­اندازیم؛ یعنی متریک رابرتسون­-واکر (RW):
(۳-۱۳)
که در آن فضا­- زمان دارای تقارن کروی و همسانگرد (ایزوتروپیک) است. ما متریک را کلی­تر کرده و آن را به شکل زیر درمی­آوریم:
(۳-۱۴)
که در آن تقارن کروی از میان رفته اما همسانگردی همچنان وجود خواهد داشت. ما سه نوع حل را منطبق بر سه نوع پتانسیل برای کرمچاله­ی موردنظر خود خواهیم داشت که البته در هر سه کلاس  (ضریب کوپل­شدگی) را اختیار می­کنیم که درواقع میدان دایلتون ما با میدان الکترومغناطیسی کمترین جفت­شدگی را خواهد داشت که نکته­ی مطلوبی در فیزیک مسئله ما به شمار می­رود. در کلاس اول  خواهد داشت. در کلاس دوم  یعنی از پتانسیل کلاین­-گوردون برای مقاصد خود استفاده خواهیم کرد. در کلاس سوم  که همان پتانسیل لیوویل است، مورد استفاده قرار خواهد گرفت.
با توجه به متریک (۳-۸) خواهیم داشت:
(۱۵-۳)  و  و  و

که در آن  تابعی بر حسب  است و نیز با توجه به رابطه­ اینشتین خواهیم داشت:
(۳-۱۶)
(۳-۱۷)
(۳-۱۸)
(۳-۱۹)
(۳-۲۰)
و استفاده از فرمول­های بالا و متریک (۳-۸) رابطه­ های زیر را برای تانسور اینشتین خواهیم داشت:
(۳-۲۱)
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)

۱.­ دسته اول:
حل کرمچاله برای دسته اول:
(۳-۲۴)
و رابطه­ (۳-۵) در فصل قبل به صورت زیر ساده خواهد شد:
(۳-۲۵)
چون  در ۴- بعد دارای trace (رد) صفر می­باشد:
(۳-۲۶)
و نیز رابطه (۳-۶) به صورت زیر درخواهد آمد:
(۳-۲۷)
در اینجا ما فرض  ، را خواهیم داشت که در آن p یک ثابت اختیاری است.
با جایگزین کردن این فرض در روابط (۳-۸) و (۳-۹) به رابطه­ زیر خواهیم رسید:
(۳-۲۸)
که در آن  مشتق بر حسب  است.
(۳-۲۹)
(۳-۳۰)
(۳-۳۱)
(۳-۲۹)
(۳-۳۲)
(۳-۳۳)