یک ریخت از عمل‌های باشد. در گروه‌وار ، عمل روی را توسط و در گروه‌وار ، عمل روی را توسط داریم. حال نشان می‌دهیم یک ریخت از عمل‌ها است. تعریف می‌کنیم. بنابراین داریم:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

همچنین برای، داریم:
چون ، پس نیز یک تابعگون می‌باشد.
درنتیجه داریم:
پس .
همچنین
پس .■
تعریف ۳-۱۵٫ گروه‌وار به‌ طورکلی غیرمتعدی
اگر به ازای هر ، ، گروه‌وار را به طورکلی غیرمتعدی گوییم.
تعریف ۳-۱۶٫ فرض کنیدو گروه‌وارهایی با مجموعه اشیاء یکسان باشند و فرض کنید به طورکلی غیرمتعدی باشد. عمل روی توسط تابع جزئی
تعریف می‌شود به طوری‌که در شرایط زیر صدق کند:
۱- تعریف می‌شود اگر و فقط اگر ، و آن‌گاه .
۲-
۳-و .
برای همه‌ی ، و .
تعریف ۳-۱۷٫ مدول ضربی گروه‌وارها
یک مدول ضربی از گروه‌وارها شامل یک ریخت از گروه‌وارهای و است به طوری‌که روی مجموعه اشیاء، همانی وبه طورکلی غیرمتعدی است، به همراه یک عمل رویبه طوری‌که در شرایط زیر صدق کند:
۱- .
۲- .
برای هر و.
یک مدول ضربی را با نشان می‌دهیم.
نکته ۳-۱۸٫ در تعریف مدول ضربی گروه‌وارها اگر شرط ۲ یک شرط لازم نباشد به آن یک مدول پیش‌ضربی می‌گوییم.
تعریف ۳-۱۹٫ ریخت بین مدول های ضربی
فرض کنیدو مدول‌های ضربی باشند. یک ریخت از مدول‌های ضربی، یک سه‌تایی است به طوری‌که یک ریخت از گروه‌وارهای و یک خانواده از ریخت‌های می‌باشد به طوری‌که نمودارهای زیر جابه‌جایی باشند:
نمودار۵٫
نمودار۶٫
نکته ۳-۲۰٫ با توجه به تعاریف ۳-۱۷ و ۳-۲۰، می‌توانیم رسته‌ی از مدول‌های ضربی گروه‌وارها را تعریف کنیم.
تعریف ۳-۲۱٫ –فضای چپ
فرض کنیم یک گروه‌وار توپولوژیکی باشد. یک –فضای چپ، یک سه‌تایی است که یک فضای توپولوژیکی است، یک تابع پیوسته است و
یک عمل پیوسته روی می‌باشد که با نمودار برگردان زیر داده شده است.
نمودار۷٫
همچنین عمل باید در اصول زیر صدق کند:
۱- .
۲- .
۳- .
جایی‌که روابط بالا تعریف‌شده باشد.
بنابراین می‌گوییم یک –فضای چپ است توسط .
تعریف ۳-۲۲٫ ریخت بین –فضاهای چپ
یک ریخت از –فضاهای چپ، شامل یکتابع پیوسته‌ی است به طوری‌که و ، جایی‌که تعریف‌شده باشد.
نکته ۳-۲۳٫ براساس تعاریف ۳-۲۲ و ۳-۲۳، رسته ای به نام از –فضاها داریم.
قضیه ۳-۲۴٫ رسته‌ی و هم‌ارز می‌باشند.
برهان. تابعگون‌های و را تعریف می‌کنیم.
فرض کنیدیک ریخت پوششی توپولوژیکی است، پس طبق تعریف۲-۴۳، همئومورفیسم می‌باشد. بنابراین معکوس پیوسته‌ی است. همچنین
را جایی‌که ، در نظر می‌گیریم. پیوسته است و یک گروه‌وار توپولوژیکی است، پس پیوسته می‌باشد. بنابراین پیوسته است.
حال ثابت می‌کنیم یک –فضا است.
چون یک گروه‌وار توپولوژیکی است، پس و فضاهای توپولوژیکی می‌باشند. در نتیجه یک فضای توپولوژیکی است. چونیک ریخت پوششی توپولوژیکی است، یک نگاشت پیوسته می‌باشد.