و برای اختیار خرید امریکایی داریم:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

بنابراین برای اختیار امریکایی مرز انتهایی چپ توسط منحنی  داده شده است. بنابراین جهت محاسبه مرز ازاد  به شرط دیگری نیاز داریم. که این امر در تماس شیب  برای  در  با خط راست  با شیب منفی یک انجام پذیر است. به دلایل هندسی برای  می توان مورد  را رد کرد زیرا شرط‌های ‏(۲-۶۵)، ‏(۲-۶۵) و ‏(۲-۶۶) نقض می شوند. از طرف دیگر با بهره گرفتن از اربیتراژ مورد  را می توان رد کرد. بنابراین شرط  باقی می ماند. بنابراین بایستی تابع  بر تابع بازدهی مماس شود که این را شرط حالت مماس^[۷۴] می نامند. برای اختیار فروش امریکایی در نقطه برخورد  داریم:

و برای برای اختیار خرید امریکایی در نقطه برخورد  داریم:

بنابراین تمامی حقایق اختیار خرید امریکایی و اختیار فروش امریکایی به ترتیب در ‏شکل (۲-۱۳) و ‏شکل (۲-۱۴) خلاصه شده است:
-خلاصه حقایق اختیار خرید امریکایی
-خلاصه حقایق اختیار فروش امریکایی
فرمول بندی مسئله مکمل خطی^[۷۵]: یک مثال ساده از مسله obstacle یک بعدی در نظ بگیرید. برای این منظور یک تابع  با  ،  و  در نطر بگیرید.که این تابع بیان‌کننده یک obstacle است همچنین در نظر بگیرید که  ، با  تابعی باشد که در سرتاسر تابع  رسم شده است. برای سادگی فرض می نماییم که  باشد. در بازه  هر دو تابع برهم منطبق هستند و در سایر نقاط  است که در ‏شکل (۲-۱۶) رسم شده است. در ابتدا مقدار‌های  و  نامعلوم هستند. اکنون می توان مثال را به عنوان یک مسئله ارزش مرزی ازاد فرموله نمود:
- مسئله ارزش مرزی آزاد
-چهارچوب مسئله obstacle
توجه نمایید که  برای  یک خط راست است که بدین معناست  است. و برای  یک منحنی است که  است همچنین در بازه  ،  یا  می باشد. بنابراین این مسله obstacle به صورت هم‌ارز می‌تواند به عنوان یک مسئله مکمل خطی مدل شود.

مسئله ارزش مرزی آزاد از اختیار خرید و فروش آمریکایی (‏شکل (۲-۱۳)‏شکل (۲-۱۴)) مشابه ‏شکل (۲-۱۵) است بنابراین با تعریف  و  و  ، خرید امریکایی به عنوان یک مسئله obstacle دیده می شوند. بنابراین روشن است که می توان ارزیابی اختیار امریکایی را به عنوان یک  فرموله کرد. جایی که کران مرزی  به صورت صریح بیان نشده است اما زمانی که مسئله حل شود مقدار  معلوم می شود.
 برای اختیار امریکایی:
حال با بهره گرفتن از مسئله obstacle به استخراج  برای اختیار امریکایی می پردازیم. در این بخش به استخراج  برای اختیار فروش امریکایی بدون سود (  ) می پردازیم. تبدیل ‏(۲-۳۸) منجر به نتیجه  می شود مادامیکه  باشد. از شرط ‏(۲-۶۵) تبدیل یافته داریم:

که این منجر به نامساوی زیر می شود:

تابع  این امکان را فراهم می نماید که تا ‏(۲-۴۴) به صورت  بنویسم به صورد خلاصه به شرایط  ،  ،  ،  و شرایط مرزی نیاز داریم. همچنین با  ،  برابر با  می شود. بنابراین با توجه به انچه بیان شد می توان اختیار فروش امریکایی را به عنوان یک  فرموله نمود:

به طور مشابه برای اختیار فروش داریم:

حال به گسسته سازی اخیارات امریکایی با معادلات دیفرانسیل می پردازیم. از مباحث شبکه سازی استفاده می نماییم برای این منظور فرض نمایید که  نشان دهنده تقریب  ، و  باشد. روش دیفرانسیل عقبگرد، ضمنی و گرنک-نیکلسون برای  و  .در یک فرمول ادغام نمود.

برای  ،  و  به ترتیب روش ضمنی، گرنک-نیکلسون و معادله عقب گرد بدست می ایند. نامساوی دیفرانسیلی  به صورت زیر گسسته سازی می شود:

که مجددا از  استفاده ‌می‌نمائیم. با علائم

و  بیانگر شرایط مرزی هستند

و

‏(۲-۷۸) برای همه  ها در فرم برداری به صورت زیر نوشته می شود:

نا مساوی  به صورت زیر نوشته می شود:

مساوی  صورت زیر نوشته می شود:

.شرایط مرزی و اولیه عبارتند از

شرایط مرزی تشخیص داده شده در بردارهای  به صورت زیر بیان ‌می‌شوند:
حال نوع گسسته از مسئله های ‏(۲-۷۵) و ‏(۲-۷۶) در یک الگوریتم خلاصه ‌می‌نمائیم.
این گسسته سازی، دیفرانسیل متناهی را تکمیل ‌می‌نمائید.
روش مونت‌کارلو
اختیارات آمریکایی در هر تاریخی قبل از تاریخ سررسید یا در خود سررسید امکان اعمال دارند. که این اعمال اختیار بستگی به حداکثر سود در تاریخ اعمال دارد. یکی از ابزار‌های خیلی مهم در قیمت‌گذاری اختیارات آمریکایی روش مونت‌کارلو است روش مونت‌کارلو به صورت خلاصه شامل تولید مسیر‌های قیمتی متفاوت برای قیمت دارایی مد نظر تحت مدل مورد استفاده، ارزش تنریل شده سود‌های ناشی از اعمال اختیار و در نهایت میانگین‌گیری روی ارزش‌های حاصله می‌باشد.
از مزیت‌های این روش‌ می‌توان به کاربرد آن برای حل معادلات دیفرانسیلی تصادفی بدون جواب تحلیلی یا برای حل یک سیستم معادلات تصادفی ( با چندین عامل تصادفی) اشاره نمود. در این بخش پس از معرفی مختصر روش مونت‌کارلو، می‌توان به روش‌های درختی^[۷۶]‌، روش شبکه‌بندی تصادفی^[۷۷]، روش لانگ‌استاف^[۷۸] برای حل مسئله مونت‌کارلو جهت قیمت‌گذاری اختیارات امریکائی می‌پردازیم.
برای ورود به بحث، انتگرال زیر را در نطر بگیرید: