• • آزمون ضریب لاگرانژ (LM)^[76]

با فرض انکه پسماندهای معادله میانگین به صورت  باشد از مربع سری های پسماند  می توان به منظور بررسی ناهمسانی واریانس شرطی که به اثرات آرچ معروف است استفاده کرد. برای این منظور انگل (۱۹۸۲) آزمون ضریب لاگرانژ را مطرح نمود. در این آزمون از آماره F جهت آزمون  در رگرسیون خطی زیر استفاده می شود:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۷) 
 بیانگر جزء اخلال می باشد. m یک عدد صحیح مثبت می باشد که مقدار آن از پیش تعیین شده است و T اندازه نمونه می باشد. فرض صفر در این آزمون به صورت زیر می باشد:

 اگر  باشد به طوریکه میانگین نمونه  در آن به صورت  باشد و رابطه  برقرار باشد به نحویکه  حداقل مربعات پسماندهای رگرسیون خطی رابطه (۳-۷) باشد در این صورت خواهیم داشت:
(۳-۸)
که از توزیع مجانبی  با m‌ درجه آزادی برخوردار می باشد. در این آزمون اگر  باشد که  در آن مقدار صدک  ام  می باشد و یا اگر حداکثر سطح معنی داری (p-value) مربوط به F کمتر از  باشد در این صورت فرض صفر رد می شود. ( تی سی، ۲۰۰۵، ص۱۰۱-۱۰۲)

۳-۷-۴٫ معیار خودهمبستگی

بررسی خوهمبستگی در سری زمانی یکی از مهمترین معیارهای ارزیابی سری زمانی تلقی می گردد. در سری های زمانی که دارای خودهمبستگی می باشند مقدار متغیر در زمان  وابسته به مقادیر گذشته آن متغیر می باشد. در این حالت به دلیل وجود تاثیرات مقادیر گذشته بر روی مقادیر آینده سری زمانی، تاثیرات مقادیر گذشته به عنوان یک متغیر مستقل در مدل وارد گردیده تا اثرات پسماندها فقط ناشی از سایر متغیرها به جز همبستگی باشد. در صورتی که در سری زمانی مقادیر متغیر در زمان  وابسته به مقادیر گذشته آن متغیر نباشد، اصلاح مدل در قالب تاثیرات مقادیر گذشته به عنوان یک متغیر مستقل انجام نمی گردد. بر این اساس جهت مدل سازی سری های زمانی، لازم است ابتدا آزمون خودهمبستگی انجام گردد.
برای بررسی وجود همبستگی سریالی در سری زمانی تحت مطالعه از دو آماره دوربین-واتسون (DW)‌^[۷۷] و کرلوگرام (آماره Q )^[78] استفاده می شود. از اماره دوربین-واتسون برای بررسی همبستگی سریالی مرتبه اول استفاده می شود. در این آزمون فرض p=0 در مدل رگرسیون ذیل آزمون می شود:
 (۳-۹)
در صورت عدم وجود همبستگی سریالی DW نزدیک به عدد ۲ خواهد بود. با توجه به نواقص آزمون DW ( از قبیل عدم امکان بر اساس همبستگی سریالی برای وقفه های بالاتر از وقفه اول ) غالبا از آماره Q استفاده می شود. در آماره Q لجانک-باکس^[۷۹] توابع خودهمبستگی و خودهمبستگی جزئی نمایش داده می شود. در صورت عدم وجود همبستگی سریالی در مقادیر پسماندها، خودهمبستگی و خودهمبستگی جزئی در تمامی وقفه ها نزدیک به صفر خواهد بود. همچنین تمامی آماره های Q با مقادیر P بزرگ بی معنی خواهد شد.

• • آماره Q

به جای انجام آزمون معنی داری بر روی هر یک از ضرایب خودهمبستگی به صورتی مجزا می توان این فرض را آزمون کرد که آیا تمامی  ها تا سطوحی از وقفه های مشخص، به طور همزمان برابر صفر می باشند یا خیر. این آزمون را می توان با بهره گرفتن از آماره Q که توسط باکس و پیرس ارائه گردیده است انجام داد:
 (۳-۱۰)
که n در آن معرف اندازه نمونه و m بیانگر طول وقفه می باشد. از این آماره اغلب به منظور آزمون وایت نویز بودن یک سری زمانی استفاده می شود. در نمونه های بزرگ، این آماره به طور تقریبی از توزیع کای-اسکوئر با m درجه آزادی برخوردار می باشد. در عمل اگر مقادیر Q محاسبه شده در سطح معنی داری موردنظر، از مقادیر بحرانی Q فراتر روند در این صورت فرض صفر که بیان می کند تمامی  ها برابر صفر می باشند رد می شود. ( گجراتی، ۲۰۰۴، ص۸۱۳)

• • آماره لیونگ-باکس (LB)

 این آماره، نوع دیگری از آماره Q می باشد که به صورت زیر تعریف می گردد:
(۳-۱۱)
اگرچه در نمونه های بزرگ، هر دو آماره های Q و LB از توزیع کای-اسکوئر با m درجه آزادی برخوردار می باشند اما ثابت شده است که آماره LB سازگاری بیشتری با ویژگی های نمونه های کوچک از خود نشان می دهند و به لحاظ آماری، در مقایسه با آماره Q قویتر عمل می کند.( گجراتی، ۲۰۰۴، ص۸۱۳) مطالعاتی که بر روی داده های شبیه سازی شده صورت گرفته است نشان می دهد که انتخاب تعداد وقفه ها (m) از رابطه  عملکرد بهتری را نشان خواهد داد.(تی سی^[۸۰]،۲۰۰۵، ص۲۷)

• • تابع خودهمبستگی^[۸۱] (ACF)

یک سری زمانی از بازده ها  با مانایی ضعیف را در نظر بگیرید. هنگامیکه موضوع وابستگی خطی میان  و مقادیر گذشته آن  مطرح می گردد، مفهوم خودهمبستگی به میان می آید. ضریب همبستگی میان  و  ، خودهمبستگی  با l وقفه خودش نامیده می شود و با  نمایش داده می شود. تحت فرض مانایی ضعیف،  تنها تابعی از l می باشد.

(۳-۱۲)
در یک سری زمانی با مانایی ضعیف  می باشد. همچنین بنا به تعریف داریم:
 ,  ، 
به علاوه، در یک سری با مانایی ضعیف  از همبستگی سریالی برخوردار نمی باشد تنها و تنها اگر به ازاء تمامی مقادیر  ،  باشد.
یک سری از بازده ها را به صورت  و با میانگین  در نظر بگیرید. در این صورت خودهمبستگی  با l وقفه به صورت زیر می باشد:

(۳-۱۳) , 
اگر  یک سری با توزیع معین و مستقل که در آن  است باشد در این صورت  به ازاء هر عدد ثابت مثبتی برای l دارای توزیع نرمال مجانبی با میانگین صفر و واریانس  خواهد بود. به شکل عمومی تر، اگر  یک سری زمانی با مانایی ضعیف باشد به طوریکه  و  باشد در این صورت q یک عدد صحیح مثبت و  یک سری وایت نویز گاوسین خواهد بود.  نیز به ازاء تمامی مقادیر  از توزیع نرمال مجانبی با میانگین صفر و واریانس  برخوردار می باشد.
-آزمون ACF به صورت مجزا
برای هر عدد صحیح مثبت l می توان آزمون فرض زیر را انجام داد:

که آماره آزمون به صورت زیر می باشد: